=1116.=在基尔霍夫的回忆录中，有一些具有非同寻常的美感。我听到你问：“美？当积分伸长脖子（意指复杂计算）时，优雅难道不会逃离吗？在作者连最细微的外在修饰都无暇顾及的地方，怎么会有任何东西称得上美呢？”……然而，正是这种纯粹的简洁——每个词、每个字母、每个小破折号都不可或缺的特质，让数学家在所有艺术家中最接近“世界造物主”；它构建了一种在其他艺术中无可比拟的崇高感，最多只在交响乐中存在些许类似之处。毕达哥拉斯学派早已认识到，最主观的艺术与最客观的艺术之间存在相似性……“终极之物彼此相连”。数学的表现力何其丰富，刻画事物又何其精妙！就像音乐家能从最初的几个和弦辨认出莫扎特、贝多芬、舒伯特，数学家也能在几页纸内分辨出柯西、高斯、雅可比、亥姆霍兹的风格。法国数学家的特点往往是极致的外在优雅，有时结论框架却略显薄弱；而英国人，尤其是麦克斯韦，以最具“戏剧性体量”的论证着称。谁不知道麦克斯韦的气体动力学理论呢？开篇先是宏伟地展开速度变化的推导，随后一边引入条件方程，另一边引入中心运动方程——公式的混沌如浪潮般越涌越高，突然四个词迸发而出：“令n=5”。邪恶的恶魔V瞬间消失，如同此前狂野渗透乐章的低音声部戛然而止；先前看似无法控制的局面，此刻如被魔法点化般井然有序。书中没有时间阐述为何做此代换，无法感知其中缘由的人，最好把书放下；麦克斯韦不是“标题音乐作曲家”，不会解释作品每个音符的意图。紧接着，公式乖乖地逐个产出结果，直至迎来令人惊叹的高潮——重气体的温度平衡，最终落幕……
基尔霍夫的整体倾向及其对应的表达方式则截然不同……他的特点是假设极其精确，推导细致入微，论证过程冷静而非史诗般宏大，却不失极致的严谨；他从不掩盖难点，总能驱散最细微的模糊。再回到我的比喻：他就像贝多芬，是用音符思考的思想家。若有人怀疑数学着作能具备美感，那就让他读读基尔霍夫关于“吸收与发射”的回忆录（《文集》，莱比锡，1882年，第571-598页），或他《力学》中关于流体力学的章节。
——玻尔兹曼《古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫》（莱比锡，1888年），第28-30页
基尔霍夫之回忆录中，有数篇颇具瑰奇之美。或诘曰：“美乎？当积分繁复若虬龙蜿蜒，雅韵岂不遁形？着述者无暇雕琢辞藻，何美之有？”然正此至简之态，字、符、顿号皆不可或缺，使算学家于诸艺中，最得造化之妙，立一种无上崇高之境，唯交响乐章可稍拟之。昔毕达哥拉斯学派，已悟至情之艺与至理之学，其极终通。所谓“终极之物，彼此相接”，诚哉斯言！数学之精妙，可鉴微知着。譬如乐师辨莫扎特、贝多芬、舒伯特之曲，听始弦而晓；算学家识柯西、高斯、雅可比、亥姆霍兹之论，披数页而明。法之算学，多尚文饰，而理或未坚；英之硕儒，尤以麦克斯韦为最，其论磅礴若戏剧。麦克斯韦之气体动力学说，初则推演速度之变，宏阔如江海；继则纳条件、运动之方程，公式纷纭若潮涌。忽出“令n = 5”四字，如阴霾骤散，群魔皆遁，昔之混沌，俄尔秩然。其不暇解代换之由，不解者弃卷可也，盖麦克斯韦非释曲之乐工，不逐句而解。自此公式如臣奉诏，成果相继，终至重气平衡之境，若剧终幕落，令人惊叹。
基尔霍夫之治学，与诸家异。其设喻精审，推演详明，论述谨严，如静水深流，不饰以奇，不避疑难，幽微必阐。若以乐喻之，其类贝多芬，以音律而穷理者也。疑算学着述无美者，可览其《吸收与发射》之篇（《文集》，莱比锡，1882年，571 - 598页），或阅其《力学》中流体力学之章，必有所悟。
——玻尔兹曼《古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫》（莱比锡，1888年），28 - 30页
=1117.=“论诗歌与几何真理，
及其不朽的崇高特权——
免受一切内在损伤，
我沉思着，专注于这些主题；最终，
感官在闷热的空气中屈服，
睡眠攫住了我，我坠入梦境。”
——华兹华斯《序曲》，第五卷
尝思诗歌与几何之真，其不朽之德，内无摧折之患，沉吟久之。忽暑气侵人，神思倦怠，倏然入梦。
——华兹华斯《序曲》，第五卷
=1118.=几何看似代表着一切实用之物，诗歌则象征着所有幻想之物，但在想象的王国中，它们实则紧密相连，且应作为珍贵的遗产，一同赠予每位青年。
——弗洛伦斯·米尔纳《学校评论》，1898年，第114页
世人常谓几何主于实用，诗歌寄于玄想，然于灵台妙境之中，二者实乃同根连理，当为后学青年传之瑰宝。
——弗洛伦斯·米尔纳《学校评论》，1898年，114页
=1119.=美在数学中如同在其他领域一样有其位置。日常交流与商务信函的“散文”或许被视为语言最实用的用途，但倘若没有想象的文学，我们的精神将何其贫瘠。数学同样拥有创造性想象的辉煌成就：它有优美的定理，有因形式完美而成为经典的证明与推导过程。那些声称在数学中看不到诗意的人，恐怕才是真正的“实用主义者”。
——w.F.怀特《基础数学剪贴簿》（芝加哥，1908年），第208页
美之寓于数学，犹日月之丽天，不可阙也。日常之语、商贾之书，虽称实用，然若无文思妙想之着，人文将衰。数学亦有造化之功，其定理精妙，证法典雅，流芳千古。若言算学无诗韵者，实乃浅陋之徒也。
——w.F.怀特
《基础数学剪贴簿》（芝加哥，1908年），208页
=1120.=我冒昧断言：当人们首次理解微积分那美妙的符号体系的意义时，当掌握傅里叶精妙的分析方法时，当跟随麦克斯韦或汤姆逊踏入迅速成形的电学奇境时，当几乎能与斯托克斯一同感受赋予自然视觉的光的脉动时，或与克劳修斯追踪分子运动轨迹（即便深知永远无法亲眼看见，却能测量其行为）——此时的感受，完全可与一首绝妙的诗篇或一个崇高的思想所引发的情感相媲美。
——w.p.沃克曼
摘自F.斯宾塞《教学的目标与实践》（纽约，1897年），第194页
敢断言曰：初学微积分，悟其符号之妙；研习傅里叶之法，晓其分析之精；随麦克斯韦、汤姆逊探电学之奥；伴斯托克斯察光影之变；从克劳修斯索分子之迹（虽目不可见，然可度其行），凡此诸境，所生之情，与品华章、悟至理无异也。
——w.p.沃克曼
摘自F.斯宾塞《教学的目标与实践》（纽约，1897年），194页
=1121.=少数人知晓这一公开的秘密，多数人却视其为谜团与阻碍——科学与诗歌本是亲姊妹。在那些最抽象、最形式化、最远离常人感官想象的科学探究领域，恰恰最需要一种堪比诗人创作洞见的高阶想象力，而这种想象力也最能结出永恒之果。
——F. 波洛克《克利福德演讲与论文集》（纽约，1901 年），第一卷，引言，第 1 页
知者以为昭昭然之秘，昧者视若冥冥然之障：科学与诗赋，实乃同气连枝。至若格物之学中，其理至玄、其式至严、其旨远超常人臆度者，尤赖灵思妙想。此等想象之力，堪比诗人之神悟，亦为传世之功的源泉。
——F. 波洛克
《克利福德演讲与论文集》（纽约，1901 年），第一卷，引言，第 1 页
=1122.=坚称想象力的高度发展对数学研究的进步并非必需，与如拉斯金等人所主张的“科学与诗歌是对立追求”一样，皆为大谬。
——F. S. 霍夫曼
《科学的领域》（伦敦，1898 年），第 107 页
或言精思妙想非算学进境之要，犹若拉斯金之徒坚称格物与诗赋相悖，皆为谬见。
——F. S. 霍夫曼
《科学的领域》（伦敦，1898 年），第 107 页
=1123.=我们常听闻数学中的诗意，却鲜少有人真正咏唱过它。古人对数学诗意价值的认知，比我们更为恰切。任何真理最清晰优美的表述，最终必呈数学之形。我们或可将道德哲学与算术的法则简化，使一个公式同时表达二者。
——亨利·戴维·梭罗《康科德与梅里马克河上的一周》（波士顿，1893 年），第 477 页
世人常道算学含诗韵，然鲜有咏叹之辞。古贤于算学之诗意，见地胜今。凡至理之述，欲达至明至美者，终必归于数理之形。设使精研义理，或可化繁为简，以一式统摄修身之道与算法之则。
——亨利·戴维·梭罗
《康科德与梅里马克河上的一周》（波士顿，1893 年），第 477 页
=1124.=我们不会全神贯注地聆听一个纯粹诗人的诗句，也不会重视一个纯粹代数学家的问题；但倘若一个人既熟知万物的几何根基，又洞悉其绚烂之美，他的诗歌必精确，算术必成乐章。
——拉尔夫·沃尔多·爱默生《社会与独处》，第七章，《工作与日子》
独擅诗笔者，其章句难引深思；专精算法者，其命题少能动情。若有人既通万物几何之基，又谙造化瑰丽之妙，则其诗必精审，其算自成雅韵。
——拉尔夫·沃尔多·爱默生
《社会与独处》，第七章，《工作与日子》
=1125.=数学与诗歌……是同一种想象力的表达，只不过前者诉诸理性，后者诉诸情感。
——托马斯·希尔《北美评论》，第 85 卷，第 230 页
算学与诗赋，皆为灵思所化。一者启智，一者寄情，源出同宗。
——托马斯·希尔《北美评论》，第 85 卷，第 230 页
=1126.=数学常被视为诗歌的对立面，然二者实乃近亲，因皆为想象的造物。诗歌是创造、是虚构；而数学曾被其拥趸称为“最崇高、最惊人的虚构”。诚然，数学不仅是“学问”，更是“创造”。
——托马斯·希尔《北美评论》，第 85 卷，第 229 页
世人多以算学与诗赋为冰炭不同器，殊不知二者实乃手足。皆赖灵心妙悟，以成其美。诗者，造境生文；算学，亦曾被赞为“至大至神之虚构”。盖算学者，非独求知之学，更是创物之术。
——托马斯·希尔《北美评论》，第 85 卷，第 229 页
=1127.=“音乐与诗歌能激发你的才思；
数学与形而上学，可随你兴致浅尝。
无愉悦则无进益——
简言之，先生，钻研你最钟爱的学科吧。”
——莎士比亚《驯悍记》，第一幕，第一场
“丝竹诗章，可焕神思；
数理玄理，随性而习。
学无悦趣，难有所得。
总而言之，宜专情于所好。”
——莎士比亚《驯悍记》，第一幕，第一场
=1128.=音乐与代数有诸多相似之处。
——诺瓦利斯
《着作集》，第二部分（柏林，1901 年），第 549 页
律吕之妙，与算法相通。
——诺瓦利斯
《着作集》，第二部分（柏林，1901 年），第 549 页
=1129.=“我向你推荐我的一位门客，
他精于音乐与数学，
可全面指导她这两门学问——
我知她并非对此一无所知。”
——莎士比亚
《驯悍记》，第二幕，第一场
“吾有门人，精于音律算法，可悉心教导。吾知令爱亦通此道，必能相得益彰。”
——莎士比亚《驯悍记》，第二幕，第一场
=1130.=毕达哥拉斯浸润于希腊人彼时盛行的思辨精神，力图探寻宇宙的统一法则。在他之前，伊奥尼亚学派的哲学家们从万物的“质料”中寻找本原，而毕达哥拉斯则从万物的“结构”中求索。他观察到数字与宇宙现象间的各种数值关系或类比，深信真正的哲学根基在于数字及其关系，遂将万物本源归于数字。例如，他发现等长琴弦在重量比为 1\/2、2\/3、3\/4 时，会产生八度、五度、四度音程——和声取决于音乐比例，本质是一种神秘的数值关系。有和声处必有数字，故宇宙的秩序与美皆源于数字。音阶有七个音程，天穹有七颗行星运行，前者背后的数值关系必与后者一致。有数字处必有和声，于是他以“心灵之耳”在行星运转中听出了奇妙的“天体和声”。
——弗洛里安·卡乔里《数学史》（纽约，1897 年），第 67 页
昔毕达哥拉斯，浸染于希腊玄思之风，志在穷究宇宙同源之理。伊奥尼亚诸贤，多求本于万物之质；毕氏独探微于万象之构。其察数字之比例，观天地之征象，深信数理为哲思之本，遂以数为万物之源。譬如弦乐之理：等长之弦，施以 1\/2、2\/3、3\/4 之重，则成八度、五度、四度之律。由此可知，乐之和谐，源于数理；数理之妙，隐于和谐。和谐所至，数亦存焉。是以天地之序、造化之美，皆肇端于数。音阶有七律，天穹有七星，其数理之妙，一以贯之。毕氏以灵府之聪，闻诸天运转，若奏钧天之乐，名曰“天体和声”。
——弗洛里安·卡乔里
《数学史》（纽约，1897 年），第 67 页
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